正规方程不可逆的情况

• 正规方程 ( normal equation )的不可逆情况
• 正规方程解的推导过程

我们要讲的问题如下：
对于$\theta = (X^TX)^{-1}X^Ty$，当$X^TX$不可逆时该怎么办？

1. $X^TX$不可逆很少发生。 在Octave里，可逆矩阵求解逆使用inv()，不可逆矩阵求解伪逆使用pinv()。

2. 使用大量的特征值的情况下，可能会导致矩阵$X^TX$的结果是不可逆的。
   具体地说，在 m 小于或等于 n 的时候，例如，有 m 等于 10 个的训练样本也有 n 等于100 的特征数量。要找到适合的 ( n +1 ) 维参数矢量$\theta$ ，这将会变成一个 101 维的矢量，尝试从 10 个训练样本中找到满足 101 个参数的值，这工作可能会让你花上一阵子时间，但这并不总是一个好主意。因为，正如我们所看到你只有 10 个样本，以适应这 100 或 101 个参数，数据还是有些少。 稍后我们将看到，如何使用小数据样本以得到这 100 或 101 个参数，通常，我们会使用一种叫做正则化的线性代数方法，通过删除某些特征或者是使用某些技术，来解决当 m 比n 小的时候的问题。即使你有一个相对较小的训练集，也可使用很多的特征来找到很多合适的参数。

解决方法：

1. 看特征值里是否有一些多余的特征，像这些 $x_1$和$x_2$是线性相关的，互为线性函数。删除重复的特征将解决不可逆性的问题。如果特征数量实在太多，可以删除些用较少的特征来反映尽可能多内容，或者考虑使用正则化方法。

2. 如果矩阵$X^TX$是不可逆的，（通常来说，不会出现这种情况），如果在 Octave 里，可以用伪逆函数 pinv ( ) 来实现。即使 X’X 的结果是不可逆的，但算法执行的流程是正确的。

总之，出现不可逆矩阵的情况极少发生，所以在大多数实现线性回归中，不应该过多的关注$X^TX$不可逆。

正规方程解的推导过程

$\theta = (X^TX)^{-1}X^Ty$ 的推导过程： $J(\theta_{0}, \theta_{1}...\theta_{n}) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})^{2}$ 其中： $h_{\theta}(x) = \theta^TX = \theta_{0}x_{0} + \theta_{1}x_{1} + \theta_{2}x_{2} + ... + \theta_{n}x_{n}$ 将向量表达形式转为矩阵表达形式，则有$J(\theta) = \frac{1}{2}(X\theta - y)^{2}$，其中 X 为$mn$的矩阵（m为样本个数，n为特征个数），$\theta$为$n1$的矩阵，y 为$m*1$的矩阵，对$J(\theta)$进行如下变换:

接下来对$J(\theta)$偏导，需要用到以下几个矩阵的求导法则: $\frac{dAB}{dB} = A^T$ $\frac{dX^TAX}{dX} = 2AX (a)$ 对于（a）式：由于： $X^TAX = AX^2$ ，所以其导数为2AX 。 所以有: